Souvislost mezi gravitací a termodynamikou poprvé ukázal izraelský teoretik Jacob Beckenstein na myšlenkovém pokusu s černou dírou . Otevřel tak zcela nový vědní obor – termodynamiku černých děr. Výsledkem těchto úvah bylo nejenom známé Hawkingovo vypařování, ale zejména holografický princip, který dává do souvislosti informace obsažené na povrchu nějaké oblasti s děním uvnitř oblasti. V dnešním díle této trilogie se seznámíme podrobněji s holografickým principem a jeho významem.
Hologram umožňuje rekonstrukci 3D objektu
z 2D záznamu intenzity a fáze světla.
|
Teplota absolutní – míra neuspořádaného pohybu v látce. Stav látky s absolutní nulou znamená stav s minimálním množstvím pohybu, které umožní zákony kvantové teorie (s minimální entropií). Absolutní nuly nelze dosáhnout konečným počtem procesů, lze se jí ale libovolně přiblížit. Absolutní teplota se měří v kelvinech. Jeden stupeň kelvina je roven jednomu stupni Celsia. Kelvinova stupnica má jiný počátek než Celsiova stupnice, 0 K = -273,15 °C. Entropie – v termodynamice je definována vztahem dS = dQ/T, kde dQ je diferenciál tepla a T je absolutní teplota (1/T je integrační faktor). Takto zavedená entropie je na rozdíl od tepla úplným diferenciálem, její integrál nezávisí na cestě ve stavovém prostoru. Ve statistice má entropie význam logaritmické míry pravděpodobnosti realizace stavu, v kvantové teorii je logaritmickou mírou počtu kvantových stavů, kterými lze daný makroskopický stav realizovat. Informace – veličina, která má různý význam v různých oborech. V technických vědách znamená zprávu zapsanou jako uspořádaný řetězec symbolů. Nejmenší informací je jeden bit odpovídající zápisu dvoustavové veličiny (0/1, ano/ne atd.). Ve fyzice může jít o cokoli, co je schopno ovlivnit stav systému. Informaci lze přenášet za pomoci vln nebo jiných signálů. Logaritmickou mírou informace obsažené v látce je entropie. Holografie – forma záznamu obrazu, která umožňuje zachytit jeho trojrozměrnou strukturu na dvourozměrný obrazový nosič neboli hologram (fotografická deska, binární záznam) a opětovnou rekonstrukci. Na hologram se zaznamenává jak intenzita, tak fáze světla. Holografii objevil Dennis Gabor v roce 1948, kvalitní hologramy byly ale pořízeny až po objevu laseru. |
Od Beckensteinova jevu k Hawkingovu vypařování
Popišme si nyní jednu z variant Beckensteinova experimentu, která poněkud připomíná Cimrmanův výtah s dělníky v ostravském dole. Mějme v blízkosti černé díry dvě kabinky spojené lankem (viz Obr. 1). Vzdálenější kabinku naplníme fotony (elektromagnetickým zářením) o teplotě T. Tato kabinka je těžší a černá díra ji přitáhne. V blízkosti horizontu černé díry otevřeme spodní část kabinky a fotony se vysypou do černé díry. Dolní kabinka zůstane prázdná. Mezitím naplníme horní kabinku fotony a celý děj se opakuje. Plná kabinka sjede k horizontu, vyprázdníme ji atd. Nepochybně bychom nějak museli ošetřit technické detaily experimentu, například se zabývat tím, jak moc se můžeme přiblížit k horizontu, aby se kabinka ještě mohla vrátit. Detailní výpočet nalezne čtenář v [5].
Celý experiment je z hlediska termodynamiky tepelným strojem. Jde o vratný děj Carnotova typu, ve kterém roli ohřívače (kotle) plní horní kabinka se zářením o teplotě T. Každý cyklicky pracující tepelný stroj musí mít chladič o teplotě T0 < Т. Roli chladiče má v tomto experimentu horizont černé díry, do kterého hážeme nepotřebné fotony. Beckenstein určil z Carnotovy věty o účinnosti tepelného stroje teplotu tohoto chladiče a tedy teplotu horizontu černé díry. Vyšlo mu (h je stará Planckova konstanta h = 2πħ, c je rychlost světla ve vakuu, kB je Boltzmannova konstanta a Rg je velikost Schwarzschildova poloměru):
| T0 = hc/kBRg. | (3) |
Obr. 1. Jedna z variant Beckensteinova myšlenkového experimentu.
Obr. 2. Jacob Beckenstein (1947), izraelský teoretický fyzik.
Beckensteinův myšlenkový experiment historicky poprvé dává do souvislosti gravitaci (v její nejextrémnější podobě – černé díře ) s termodynamikou [1]. Experiment samozřejmě přináší celou řadu otázek, z nichž k těm stěžejním patří: „Má vůbec nějaký hlubší smysl přiřadit horizontu černé díry teplotu? Neměla by potom černá díra, jako každé těleso, zářit tepelným zářením?“ Odpověď na sebe nenechala dlouho čekat. Již po dvou letech publikuje v roce 1975 Stephen Hawking práci [3], ve které ukazuje, že pokud vezme v úvahu kvantové jevy, bude skutečně černá díra tepelně zářit na Beckensteinově teplotě. Jev můžeme buď chápat jako kvantové tunelování z oblastí pod horizontem nebo jako kreaci páru částice-antičástice v blízkosti horizontu černé díry, při kterém antičástice se zápornou hmotou (jde o virtuální páry jejichž celková hmotnost musí dát navenek nulu) končí pod horizontem, a zbývající částice se jakoby vynoří v blízkosti horizontu (viz Obr. 3). Jevu se říká Hawkingovo vypařování černé díry. Vlnová délka maxima vyzařování je řádově rovna Schwarzschildovu poloměru. Čím menší je černá díra, tím vyšší má Beckensteinovu teplotu a tím intenzivněji září (se zmenšujícími se rozměry částice snadněji tunelují ven). Konec vypařování černé díry by tak mohl mít charakter exploze [2].
Obr. 3. Hawkingovo vypařování znázorněné za pomoci kreace
a anihilace virtuálních párů částice-antiočástice.
| Objekt | M | Rg | ρ | T | Δt |
| proton | 1,7×10–27 kg | 10–54 m | 10130 g/cm3 | 1051 K | 10–102 s |
| kámen | 1 kg | 10–27 m | 1076 g/cm3 | 1024 K | 10–21 s |
| Země | 6×1024 kg | 9 mm | 1027 g/cm3 | 1 K | 1046 let |
| Slunce | 2×1030 kg | 3 km | 1016 g/cm3 | 10–7 K | 1062 let |
| gal. jádro | 108 MS | 2 AU | 1,82 g/cm3 | 10–14 K | 1086 let |
Parametry černé díry vzniklé z daného objektu. Beckensteinova teplota je pro makroskopické objekty mimořádně malá. V jednotlivých sloupcích je: hmotnost, Schwarzschildův poloměr, hustota, Beckensteinova teplota, doba potřebná k odpaření celé černé díry.
Princip maximální entropie
Představme si nějakou prostorovou oblast, třeba kulového tvaru, do které budeme odkládat stále větší a větší množství látky. Množství informace uvnitř oblasti roste a s ním roste i entropie oblasti. Uvedenou proceduru nelze ale opakovat donekonečna. V určitém okamžiku množství hmoty v oblasti překročí kritickou mez a oblast se stane černou dírou. Existuje tedy maximální entropie, kterou je možné do dané oblasti „uskladnit“. Tomuto tvrzení se říká princip maximální entropie. Z principu maximální entropie plyne zajímavá skutečnost. Víme, že látka je složená z atomů, atomy z jader a obalů, jádra z neutronů a protonů , neutrony a protony z kvarků . Tato hierarchie nemůže jít do nekonečna, jinak by entropie každým dělením vzrostla a celková entropie konkrétní konečné oblasti složené z částic by byla nekonečná. Pokud je princip maxima entropie správný, plyne z něho, že existuje určitá poslední hranice dělení elementárních částic na subčástice, za kterou z principiálních důvodů není možné jít.
Jinou otázkou je, co se stane s entropií oblasti, když se promění v černou dírou . Pokud by entropie zmizela, odporovalo by to druhé větě termodynamické, podle které může entropie uzavřeného systému jen růst. Od Beckensteinových a Hawkingových úvah je k řešení jen krůček. Entropie je podobně jako teplota lokalizovaná na horizontu černé díry. Toto řešení navrhnul již Stephen Hawking při svých úvahách o termodynamice černých děr. Právě z termodynamických úvah je možné najít vztah pro entropii černé díry (A je plocha povrchu černé díry):
| S = πAkBc3/2hG. | (4) |
Jenže entropie souvisí s informací, a tak okamžitě vzniká další otázka: Jak může být informace uložena na povrchu (horizontu) černé díry? Možné řešení ukázali Gerard t’ Hoofta Leonard Susskind v roce 1994. Představme si černou díru, ze které unikají fotony i jiné částice mechanizmem Hawkingova vypařování. Fotony mají tepelné spektrum. Černá díra se vypařováním velmi pomalu zmenšuje a v daleké budoucnosti zcela zanikne. Tomu můžeme zabránit – zajistíme zvenku přísun fotonů do černé díry tak, abychom dosáhli rovnovážného stavu. Hmota unikající z černé díry vypařováním je kompenzována fotony (předpokládejme, že monoenergetickými, tj. jedné konkrétní vlnové délky), které posíláme do černé díry. Vytvořili jsme tak velmi absurdní stroj. Trvale do něho hážeme fotony o jedné jediné energii a ven vylétávají fotony s tepelným spektrem. Tomuto paradoxu říkáme informační paradox. Jeho řešení je asi i řešením otázky lokalizace entropie černé díry. Foton , který přilétá do černé díry má energii, tudíž i hmotnost, která způsobí lokální vzdutí horizontu. Fotony vylétávající v místě vzdutí už nebudou tepelné. Navíc každý z nich také zdeformuje horizont. Horizont černé díry tak nebude vůbec sférický, ale plný nejrůznějších fluktuací způsobených kombinací gravitačních a kvantových jevů. Právě tyto fluktuace by mohly být nositelem informace na povrchu černé díry.
Obr. 4. Fluktuace horizontu černé díry by se měly odehrávat především na
Planckově škále. Možná jsou nositelem informace a entropie lokalizované na povrchu
černé díry. Zdroj Russtifer.
Holografický princip
Ze vztahu (4) i z předchozích úvah plyne, že entropie a informace jsou lokalizovány na povrchu černé díry. To je poněkud zvláštní, uvědomíme-li si, že entropie je aditivní veličina a za normálních okolností roste s počtem částic a tedy s objemem, nikoli s plochou. V případě černé díry je veškerá informace o látce v nitru černé díry lokalizována na jejím povrchu. Jde o jednu z mnoha variant holografického principu, podle kterého může být informace o N-dimenzionální oblasti zakódována na N–k rozměrném holografickém plátně (hologramu, chcete-li), v našem případě horizontu černé díry. Obdobná situace je známa v matematice, v teorii komplexní proměnné. Má-li komplexní funkce komplexní proměnné v určité oblasti komplexní derivaci (říkáme, že je holomorfní), postačí znát hodnoty této funkce na hranici oblasti a hodnoty uvnitř už jsou jimi určeny.
Platí holografický princip jen pro komplexní proměnnou v matematice a černé díry ve fyzice nebo jde o hlubší princip, na který jsme náhodou přišli při studiu termodynamiky černých děr? Mnoho vědců věří, že holografický princip je jedním z nejzákladnějších přírodních zákonů. Počet dimenzí modelu nemusí být příliš důležitý, protože problém lze převést na jinou úlohu na množině s menším počtem dimenzí. Lze například ukázat, že za určitých předpokladů je model homogenního a symetrického vesmíru s gravitační interakcí a zápornou křivostí ekvivalentní kvantové teorii pole bez gravitace na hranici této oblasti.
Formulací holografického principu je velké množství a pro naše účely nejsou jednotlivé nuance důležité. Holografický princip je v tuto chvíli stále nepotvrzenou hypotézou. Pokud by měl platit pro vesmír jako celek, není zcela jasné, kam umístit holografické projekční plátno, na němž by byla lokalizována veškerá informace o celém vesmíru. Možná by šel nějak využít stále se rozpínající horizont viditelného vesmíru, s takovou představou se lze ale jen těžko ztotožnit. Na druhé straně měřítkové škály, v mikrosvětě, je situace zajímavější. Pokud jsou částice skutečně strunami ve vícerozměrném světě, nevytvářejí v časoprostoru světočáry jako bodové částice, ale světoplochy. Feynmanův diagram interakce dvou strun může vypadat nějak podobně jako na obrázku 5. Právě světoplocha struny by mohla být příslušným holografickým plátnem, na němž je lokalizována veškerá informace o vnitřku struny. Šlo by o přirozenou, nepřekročitelnou hranici, za kterou již není možné z principiálních důvodů jít. V roce 2010 použil Verlinde holografický princip jako jeden ze základních postulátů své teorie gravitace. O tom ale až v posledním díle tohoto miniseriálu.
Je světoplocha struny holografickým plátnem na kterém je lokalizována veškerá informace?
Na obrázku je Feynmanův diagram splynutí dvou strun. Zdroj AGA.
Příště: Verlindovo pojetí gravitace
Zdroje:
- Jacob Bekenstein: Black holes and entropy; Phys. Rev. D 7 (1973) 2333–2346
- Stephen Hawking: Black hole explosions?; Nature 248 (1974) 5443
- Stephen Hawking: Particle creation by black holes; Communications in Mathematical Physics 43/3 (1975) 199–220
- Leonard Susskind: The World as a Hologram; Journal of Mathematical Physics 36/11 (1995) 6377–6396
- Petr Kulhánek, Milan Červenka: Astrofyzika v příkladech, FEL ČVUT, 2009
