Gravitace I – od Newtona k Einsteinovi

Cesta poznávání gravitační interakce je dlouhá a trnitá. První gravitační zákon zformuloval Isaac Newton již v 17. století. Newtonův gravitační zákon umožňuje počítat pohyby těles na Zemi ve sluneční soustavě i v hlubinách vesmíru. V první polovině 20. století se stala dominantní teorií gravitace Einsteinova obecná relativita, jejíž úspěchy jsou doslova famózní. Vzpomeňme si jen na předpověď existence černých děr, gravitačních čoček, gravitačních vln nebo strhávání časoprostoru rotujících těles. V lednu 2010 přišel nizozemský teoretický fyzik Erik Verlinde s názorem, že gravitace neexistuje a že jde o statistické projevy chování mikrosvěta. V tuto chvíli jde samozřejmě o pouhou hypotézu, kterou může, jako mnoho jiných, odvát čas. Tato hypotéza je ale natolik zajímavá, že si v krátkém čase získala mnoho příznivců i odpůrců. Cílem tohoto třídílného miniseriálu (I. Od Newtona k Einsteinovi, II. Holografický princip, III. Verlindova gravitace) je připomenout hlavní milníky v poznávání gravitační interakce a stručně se seznámit s Verlindovou hypotézou.

Newton a příběh o jablku

Podle legendy nalezl Newton údajně gravitační zákon, když seděl v sadě a na hlavu mu spadlo jablko. V tu chvíli prý začal přemýšlet nad příčinou pádu jablka a objevil gravitaci. Zda je tato legenda pravdivá či nikoli se už asi nikdy nedozvíme. Nicméně, jablko se stalo symbolem gravitační interakce pro celé generace fyziků. Zákon všeobecné gravitace objevený Isaacem Newtonem lze zformulovat například takto:

Každá dvě tělesa se přitahují silou, která je přímo úměrná jejich hmotnostem a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. Konstanta úměrnosti se označuje G a říká se jí gravitační konstanta. Uveďme některé základní rysy gravitačního zákona, nejprve jeho přednosti a poté jeho nedostatky.

Univerzalita

Gravitační zákon platí pro všechna tělesa bez výjimky. K Zemi je přitahován nejenom kámen, ale i Měsíc . Právě Newton aplikoval gravitační zákon nejprve na tělesa u povrchu Země a poté na Měsíc, který k Zemi padá obdobně jako kámen. Jeho volný pád se ale v každém bodě dráhy kombinuje s pohybem rovnoměrně přímočarým, a tím vzniká eliptická trajektorie (viz Obr. 1). Gravitační zákon lze také použít na pohyb planet a ostatních těles ve sluneční soustavě. Později se ukázalo, že gravitační zákon funguje i pro hvězdy. Již v roce 1834 Fridrich Bessel předpověděl existenci průvodce Síria A z newtonovské teorie na základě vlnovkovité trajektorie hvězdy Sírius. Tento průvodce (Sírius B) byl objeven při testování objektivu o průměru 45 cm v optické dílně bratří Clarků roku 1862. Gravitačním zákonem se řídí pohyb hvězd v galaxiích i pohyby celých galaxií. Dnes víme, že gravitace působí i na pole – ta jsou nositeli energie a tím i hmotnosti umožňující gravitační přitahování s ostatními tělesy. Gravitace je tak jedinou univerzální přírodní silou, jež působí na veškerou látku a pole ve vesmíru.

Obr. 1. Pohyb Měsíce kolem Země je složením volného pádu na Zem a pohybu 
rovnoměrného přímočarého v každém bodě trajektorie.

Determinismus

Newtonův gravitační zákon lze chápat jako diferenciální rovnici (na levé straně je síla rovná hmotnosti násobené zrychlením a zrychlení je druhou derivací polohy podle času). Integrací této pohybové rovnice (ať již analytickou nebo numerickou ) lze z počátečních podmínek předpovědět další pohyb tělesa. V tom je největší síla gravitačního zákona – schopnost predikce polohy těles. Úlohu lze samozřejmě i obrátit a integrovat pohybovou rovnici zpět v čase a nacházet polohy těles v minulosti.

Elegance

Newtonův gravitační zákon je velmi jednoduchý a přesto umožňuje komplikované výpočty pohybu těles včetně kosmických sond. Druhá mocnina ve jmenovateli zajišťuje uzavřenou dráhu (kružnici nebo elipsu) malého testovacího tělíska obíhajícího kolem velmi hmotného středu. Jen nepatrně odlišná závislost od druhé mocniny by vedla na neuzavřené trajektorie těles. Druhá mocnina ve jmenovateli s sebou nese i další skutečnost. Síla ubývá se čtvercem vzdálenosti, ale se čtvercem vzdálenosti roste také velikost kulové plochy vytvořené kolem zdroje síly. Součin síly působící na tělesa ve vzdálenosti R vynásobený velikostí plochy (4πR²), na které se mohou vyskytovat, musí být konstantní. Tento fakt má hluboký význam. Jeho důsledkem je například to, že síla působící na těleso vně kulové plochy nezáleží na rozložení hmoty uvnitř této plochy.

Otevřené problémy

Ve své době Newtonův gravitační zákon znamenal geniální nástroj k výpočtu drah těles. Odpovídá samozřejmě době, ve které vznikal a nemohl řešit některé otázky, které se zdají důležité z hlediska našich současných znalostí. 1) Newtonův gravitační zákon je nutné chápat jako matematický předpis, ze kterého lze počítat dráhy těles podléhajících gravitaci. Newtonův zákon nijak nevysvětluje, co to je gravitační působení a jaký je jeho původ. 2) Prostor a čas je předem dán a tělesa se pohybují nezávisle na těchto entitách. Newtonův zákon neřeší, co to jsou prostor a čas. 3) V gravitačním zákoně není implementována konečná rychlost šíření interakce. O změně rozložení hmoty se ostatní tělesa „dozvědí“ okamžitě. 4) Při homogenním izotropním rozložení hmoty v celém vesmíru poskytuje Newtonův gravitační zákon pro pohyb hmoty jen nestabilní řešení. Vzhledem k tomu, že vesmír expanduje, není tato skutečnost z dnešního pohledu na závadu.

Obr. 2. Sir Isaac Newton (1643–1727), tvůrce gravitačního zákona.

Einsteinova obecná relativita

Další posun v chápání gravitace nastal až ve 20. století. V roce 1916 publikoval Albert Einstein zcela revoluční obecnou relativitu , která se stala novou teorií gravitace. Věnujme se nejprve pojmu hmotnosti. Tělesům lze přiřadit dvě různé hmotnosti. Jedna hmotnost (setrvačná) je mírou schopnosti tělesa odolávat změně svého pohybového stavu. Malou setrvačnou hmotnost má například míč – snadno ho chytíme, tedy z pohybu uvedeme do klidu, nebo hodíme kamarádovi, tedy z klidu uvedeme do pohybu. Velkou setrvačnou hmotnost má vlak. Stojící vlak rukama neuvedeme do pohybu a jedoucí vlak bychom se neměli holýma rukama pokoušet zastavit. Tato setrvačná hmotnost vystupuje v druhém Newtonově pohybovém zákonu

Zrychlení, které získá těleso, je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné setrvačné hmotnosti tělesa. Druhou hmotností je gravitační hmotnost, ta vyjadřuje schopnost těles se gravitačně přitahovat a vystupuje v Newtonově gravitačním zákonu (1). Tuto hmotnost využíváme při vážení těles, neboť na miskách vah je závaží přitahováno gravitací k Zemi . Z mnoha experimentů je známo, že tyto dvě hmotnosti jsou si úměrné a zvolíme-li pro jejich měření stejnou jednotku (kilogram), budou si dokonce rovny. Tato rovnost je dnes ověřena s vysokou přesností a říká se jí princip ekvivalence setrvačné a gravitační hmotnosti.

Důsledky principu ekvivalence pro pohyb těles jsou zcela zásadní. Pohybuje-li se testovací těleso (malé těleso vzhledem k okolním tělesům) o hmotnosti m pod vlivem gravitace tělesa o hmotnosti M, vykrátí se gravitační hmotnost testovacího tělesa obsažená v silovém předpisu (1) se setrvačnou hmotností testovacího tělesa ve jmenovateli pohybového zákona (2). Výsledkem je skutečnost, že pohyb v gravitačním poli nezávisí na hmotnosti testovacího tělesa. Kamínek bude padat stejným způsobem jako betonový panel a jejich volný pád bude trvat stejnou dobu. Stejně tak se malý kamínek bude pohybovat kolem Slunce po stejné trajektorii jako celá planeta (pokud měla obě tělesa shodné počáteční podmínky).

Pohyb těles kolem Slunce tedy nezávisí na tělesech samotných, ale jen na Slunci. Albert Einstein předpověděl, že Slunce deformuje prostor a čas kolem sebe a planety se spolu s ostatními tělesy pohybují v tomto pokřiveném prostoročase po nejrovnějších možných drahách, tzv. geodetikách.

Obecnou relativitu můžeme vysvětlovat opět na pověstném Newtonově jablku. Představme si, že na povrchu jablka žijí dvojrozměrné bytosti, které znají směry dopředu-dozadu a doleva-doprava. Netuší, že existuje směr nahoru-dolů. Slupka jablka je jejich dvojrozměrným vesmírem. Pokud se v tomto světě pohybují ze svého pohledu rovně, budou pozorovat zajímavé efekty. Nakreslený trojúhelník nemá součet úhlů roven 180°, kružnice nemá obvod 2πr atd. Pokud se dvě bytosti rozejdou v blízkosti stopky, kde je povrch jablka nejvíce zakřiven, mohou se opět setkat. Je to podobné jako dva kameny vržené kolem Slunce na obrázku pod jablkem. Opět se potkaly, ale proč? V rámci newtonovské fyziky proto, že na ně působila gravitační síla, v rámci Einsteinovy fyziky proto, že Slunce natolik zakřivilo prostor a čas kolem sebe.

Obr. 4. V obecné relativitě každé těleso zakřivím prostor a čas kolem sebe. V tomto 
pokřiveném světě se potom tělesa pohybují po nejrovnějších možných drahách.

Zakřivení prostoru a času

Zakřivení prostoru znamená, že kolem hmotných těles neplatí zákony Eukleidovy geometrie. Kdybychom například změřili povrch Slunce a ze vztahu pro plochu koule A = 4πr²(pro plochu používáme symbol A, neboť symbol S budeme v dalším textu potřebovat pro entropii) dopočetli poloměr, lišil by se od skutečného poloměru o přibližně 0,5 km! Natolik Slunce zakřivuje prostor kolem sebe. Zakřivení času znamená, že hodiny jdou jinak na povrchu tělesa a jinak ve větší vzdálenosti. Příkladem může být polohovací systém GPS , kde Země zakřiví kolem sebe čas. Hodiny v GPS přijímači, který máte v automobilu, jdou jinak než hodiny na družici, se kterou přístroj komunikuje. Pokud by software vyhodnocující polohu nepočítal se zakřivením času naší Zemí, rozešla by se udávaná poloha od skutečné za 24 hodin o plných 10 kilometrů!

Role prostoru a času

Tělesa zakřivují prostor a čas kolem sebe a tím prostor a čas spoluvytvářejí, bez nich by prostor a čas neexistoval. Prostor a čas tak mají v obecné relativitě zcela jinou pozici než v newtonovské fyzice. Už nestojí stranou, ale jsou tělesy vytvářeny, bez nich nemají smysl a neexistují. Jde o historicky první chápání prostoru a času jako nedílné součásti těles. Obecná relativita už není pouhým matematickým předpisem, je geometrickou teorií gravitace, gravitační působení vysvětluje pomocí (resp. převádí na) zakřivení prostoru a času.

Úspěchy obecné relativity

Obecná relativita předpověděla řadu jevů, které jsou dnes pozorovány a nejsou slučitelné s newtonovskou fyzikou. Připomeňme na závěr alespoň některé z nich: existence černých děr , existence gravitačních čoček , zakřivení dráhy světelných paprsků v blízkosti hmotného tělesa, strhávání časoprostoru rotujícím tělesem, stáčení perihélia Merkuru , stáčení periastra dvojhvězdné soustavy, existence gravitačních vln (zatím potvrzena jen nepřímo), červený gravitační posuv , červený kosmologický posuv , expanze vesmíru, neeukleidovská geometrie prostoročasu atd. Vzhledem k velké úspěšnosti při objasňování mnoha pozorovaných jevů se obecná relativita stala jedinou obecně uznávanou teorií gravitace.

Obr. 5. Albert Einstein (1879–1955), tvůrce obecné teorie relativity.

Závěr

Newtonův gravitační zákon samozřejmě platí dál pro situace, pro které byl odvozen. Těžko by někdo počítal pohyb automobilu nebo let střely za pomoci obecné relativity. Nicméně jsou situace, kdy je nutné použít obecně relativistický výpočet (v okolí černé díry, pro výpočet gravitační čočky nebo například pro polohovací systém GPS ). Gravitace je výjimečnou silou nejen z hlediska přírody, kde jakožto jediná interakce působí skutečně na všechna tělesa (ostatní interakce jsou výběrové), ale i z hlediska teorie. Gravitaci máme popsánu pokřiveným světem obecné relativity, zatímco ostatní tři přírodní interakce umíme popsat kvantovou teorií pole, ve které je silové působení vysvětlováno za pomoci mezipůsobících (výměnných, polních) částic. Taková rozštěpenost současné fyziky nemůže být trvalým jevem a jednou bude nutné oba pohledy sjednotit.

Příště: Holografický princip

Zdroje:

1. Aldebaran – Astrofyzika – Gravitace
2. Aldebaran – Astrofyzika – Interakce
3. Aldebaran – Astrofyzika – Kosmologie
4. Václav Kaizr: Měření univerzální gravitační konstanty; AB Speciál B/2004
5. Petr Kulhánek: Červený gravitační posuv a kvantová teorie; Ab 10/2010
6. Jiří Hofman: Vezměte si domů Einsteina!; AB 41/2005
7. Petr Kulhánek: Detektor gravitačních vln VIRGO dostavěn; AB 36/2003
8. Petr Kulhánek: Kde jsou gravitační vlny?; AB 4/2008